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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
i) $f(x)=\frac{x^{2}+100}{x^{2}-25}$
i) $f(x)=\frac{x^{2}+100}{x^{2}-25}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
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En este caso, el denominador $x^2 - 25$ es cero cuando $x = 5$ o $x = -5$. Por lo tanto, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$ excluyendo $x = 5$ y $x = -5$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Calculamos los límites cuando $x$ tiende a $5$ y $-5$, nuestros candidatos a asíntota vertical:
$ \lim_{x \to 5^-} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = -\infty $
$ \lim_{x \to 5^+} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = +\infty $
$ \lim_{x \to -5^-} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = +\infty $
$ \lim_{x \to -5^+} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = -\infty $
Por lo tanto, hay asíntotas verticales en $x = 5$ y $x = -5$.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + \frac{100}{x^2})}{x^2(1 - \frac{25}{x^2})} = 1 $
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 100}{x^2 - 25} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{100}{x^2})}{x^2(1 - \frac{25}{x^2})} = 1 $
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y=1$ tanto para $x$ tendiendo a $+\infty$ como a $-\infty$.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{(x^2 - 25)(2x) - (x^2 + 100)(2x)}{(x^2 - 25)^2} $
Reacomodamos un poco:
$ f'(x) = \frac{-200x}{(x^2 - 25)^2} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$ \frac{-200x}{(x^2 - 25)^2} = 0$
$ -200x = 0 $
$x = 0$
La única solución es $x = 0$, por lo que ese es nuestro punto crítico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < -5$
b) $-5 < x < 0$
c) $0 < x < 5$
d) $x > 5$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < -5$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $-5 < x < 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $0 < x < 5$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $ x > 5$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: